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Admin · 02-09-2008 22:56:47

1)(a)
$f(x)=\frac{1}{x}exp(\frac{1}{x})$

$\lim_{x \to +\infty}\frac{1}{x}=0$ et $\lim_{x \to +\infty}exp(\frac{1}{x})=1$ donc $\lim_{x \to +\infty}f(x)=0$

La droite d'équation y=0 ( axe des abscisses ) est donc asymptote à C

1)(b)
Calcul de f '(x) :
$u(x)=\frac{1}{x}$ ; $u'(x)=\frac{-1}{x^2}$
$v(x)=exp(\frac{1}{x})$ ; $v'(x)=\frac{-1}{x^2}exp(\frac{1}{x})$

$f '(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

Après factorisation, $f '(x)=exp(\frac{1}{x})$\frac{-1}{x^2}$$1+\frac{1}{x}$$
x sup 1 , donc $$1+\frac{1}{x}$\ \gt\ 0$
$exp(\frac{1}{x})\ \gt\ 0$
$$\frac{-1}{x^2}$\ \lt\ 0$
Donc f '(x) < 0 donc f strictement décroissante sur [1,+ infty [

1)(c)

2)(a)
$K(\alpha)=\Bigint_{\alpha}^{\2\alpha}f(x)dx$

En unités d'aire, K( alpha

) représente l'aire de la région du plan composée des points M(x,y) définis par : alpha

x

2

et 0

y

f(x)
( région hachurée sur le graphique ci-dessous )

2)(b)
f décroissante sur [ alpha

, 2

] donc : f(2 alpha

)

f(x)

f(

)

$\frac{1}{2a}exp(\frac{1}{2a})\ \le\ \frac{1}{x}exp(\frac{1}{x})\ \le\ \frac{1}{a}exp(\frac{1}{a})$

$\Bigint_{a}^{2a}\frac{1}{2a}exp(\frac{1}{2a})dx\ \le\ \Bigint_{a}^{2a}\frac{1}{x}exp(\frac{1}{x})dx\ \le\ \Bigint_{a}^{2a}\frac{1}{a}exp(\frac{1}{a})dx$

$\frac{1}{2a}exp(\frac{1}{2a})\Bigint_{a}^{2a}1dx\ \le\ K(\alpha) \le\ \frac{1}{a}exp(\frac{1}{a})\Bigint_{a}^{2a}1dx$

$\frac{1}{2a}exp(\frac{1}{2a})[x]_a^{2a}\ \le\ K(\alpha) \le\ \frac{1}{a}exp(\frac{1}{a})[x]_a^{2a}$

$\frac{1}{2a}exp(\frac{1}{2a})(2\alpha-\alpha)\ \le\ K(\alpha) \le\ \frac{1}{a}exp(\frac{1}{a})(\2\alpha-\alpha)$

4)
Prérequis

Soit f définie sur un intervalle I ( dans l'exercice, I=[1,+ infty

[ )
Soit l un réel

$\lim_{x \to _+\infty} f(x)=l$ si , pour tour nombre epsilon

> 0 , il existe un nombre A > 0 ayant la propriété suivante :
(x

I et x

A ) => -

f(x) - l

Démonstration du théorème des 2 gendarmes

Soit u,v,w définies sur I=[1,+ infty

[ , telles que pour tout x sup

1 , u(x)

v(x)

w(x)

Hypothèse : il existe un réel l tel que $\lim_{x \to _+\infty} u(x)=l$ et $\lim_{x \to _+\infty} w(x)=l$

Pour tour nombre epsilon

> 0 , on peut donc trouver un réel A > 0 ayant la propriété :
(x

I et x

A ) => -

u(x) - l

(x

I et x

A ) => -

w(x) - l

Or , u(x)

v(x)

w(x)

En retranchant l à chaque membre : u(x)-l inf

v(x)-l

w(x)-l

En utilisant l'hypothèse relative aux limites de u et w : - epsilon

u(x)-l

v(x)-l

w(x)-l

Finalement : - epsilon

v(x)-l

Conclusion : $\lim_{x \to _+\infty} v(x)=l$

5) Limite de K( )

D'après le résultat du 3)(b) :
$exp(\frac{1}{2\alpha})ln2 \ \le\ K(\alpha)\ \le\ exp(\frac{1}{\alpha})ln2$

$\lim_{\alpha \to _+\infty} \frac{1}{2\alpha}=0$ donc $\lim_{\alpha \to _+\infty}exp(\frac{1}{2\alpha})=1$ donc $\lim_{\alpha \to _+\infty}exp(\frac{1}{2\alpha})ln2=ln2$

De même, $\lim_{\alpha \to _+\infty} \frac{1}{\alpha}=0$ donc $\lim_{\alpha \to _+\infty}exp(\frac{1}{\alpha})=1$ donc $\lim_{\alpha \to _+\infty}exp(\frac{1}{\alpha})ln2=ln2$

CONCLUSION : D'après le théorème des 2 gendarmes :

$\lim_{\alpha \to _+\infty} K(\alpha)=ln2$

CQFD.

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#1 02-09-2008 22:56:47

Question 15 : Intégrales ( Encadrements et Limites )

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