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Nicolas · 09-04-2010 08:30:41

Le fils d'un voisin qui prépare un examen à l'Administration me pose le problème suivant de probabilités.
"Jojo est caché. On considère qu'il y a une chance sur deux pour qu'il soit dans la maison qui compte sept pièces. La probabilité qu'il soit dans une pièce ou une autre est la même. J'ai déjà fouillé quatre pièces sans le trouver. Compte tenu des seules informations disponibles à ce moment , quelle est la probabilité que je le trouve dans la pièce suivante". Ce problème est extrait d'un recueil édité par l'Administration. Les réponses sont à choix multiples. Les solutions proposées sont 1/10, 1/7, 1/6 et 1/4. Au lecteur à choisir la bonne réponse.

La réponse que je trouve me paraît trop simpliste, vu la teneur des autres problèmes du recueil remplis de pièges.
Voici mon raisonnement: 4 pièces ont été fouillées sans résultat, reste 3 pièces, probabilité de une chance sur deux , moitié de 1/3, donc 1/6. Je suis persuadé que ce n'est pas la bonne réponse.

Qu'en pensez-vous? Merci d'avance pour ce que vous m'écrirez.

mtschoon · 10-04-2010 09:59:27

Bonjour,

Effectivement , ton raisonnement est faux!

Il faut partir du début de l'expérience .

J'espère que "le fils de ton voisin" connait les probabilités conditionnelles .

Vu l'énoncé :
la probabilité que Jojo soit à l'extérieur de la maison est 1/2
la probabilité que Jojo soit dan une pièce de la maison est 1/2(1/7)=1/14

Evènement A : Jojo n'est pas dans les 4 pièces fouillées .
Jodo est soit à l'extérieur de la maison , soit dans une des 3 pèces restantes

$\text{p(A)=\frac{1}{2}+3$\fra{1}{14}$=\frac{10}{14}$

Evènement B : Jojo est dans la pièce suivante .

$\text{p(B)=\frac{1}{14}$

$\text{\fbox{p_A(B)=\frac{p(B\cap A)}{p(A)}$

A est inclus dans B donc $\text{ p(B\cap A)=p(B)=\frac{1}{14}$

Après calcul : $\text{\fbox{p_A(B)=\frac{1}{10}$

Nicolas · 10-04-2010 11:00:21

Grand merci mtschoon,

Effectivement j'avais le sentiment que mon raisonnement était faux. Par ailleurs, bien que les exercices proposés contiennent des pièges, j'ai le sentiment ou bien cet exercice a été inséré par erreur (ce qui est peu probable) ou bien un raisonnement plus simple est possible. Je n'en saurai plus que quand la solution (avec son développement) sera dévoilée. Mais ce ne sera qu'en juillet. Je me ferai un plaisir de te la communiquer à ce moment.
Encore merci mtschoon et à bientôt.

mtschoon · 10-04-2010 11:10:47

Cet exercice ne présente aucune difficulté particulière ( à condition de se mettre dans "l'esprit" de l'énoncé , bien sûr).

La solution "mathématique" proposée est très simple pour qui connait le programme de Terminale , dont les probabilités conditionnelles font partie intégrante .

Si tu as besoin d'un bon cours de probabilités , tu peux regarder ici :
http://pagesperso-orange.fr/gilles.cost … CoursT.htm

Les probabilités conditionnelles sont traitées à la page 12 ( paragraphe 3 ) dans la rubrique "Probabilités discrètes" .

Remarque : pour la formulation et l'explication , il aurait été bon de connaître le niveau d'étude du demandeur. On ne peut pas l'inventer !
Ce qui est facile à un niveau "n" peut être un défi au niveau "(n-1)" ( et peut être expliqué différemment , avec moins de rigueur ...)

Nicolas · 10-04-2010 13:10:23

Merci mtschoon,

Je vais prendre connaissance de ce cours. L'examen dont question porte sur le programme des humanités en Belgique (donc terminale en France, je pense).

Merci encore.

Nicolas · 10-06-2010 18:31:05

Bonjour mtschoon,

Comme je te l'avais signalé précédemment, je te communique ci-après la solution donnée par les correcteurs.

"Au début, il y a 7 chances sur 14 pour que Jojo ne soit pas dans la maison et 1 chance sur 14 pour qu'il soit dans une des 7 pièces. A la fin, les 10 chances sur 14 sont ramenées à 10 chances sur 10 avec 7 chances sur 10 pour que Jojo ne soit pas dans la maison et 1/10 pour qu'il soit dans une des 3 pièces restantes ."

Je me demande si ta solution proposée n'est pas encore plus claire.

Merci encore pour ton amabilité.

mtschoon · 25-06-2010 14:25:05

Bonjour Nicolas ,

Effectivement , je ne trouve pas la solution proposée très convaincante ...la démarche est juste mais la solution manque d'explication rigoureuse ( à mon goût ! )

Merci à toi de ne pas avoir oublié de nous communiquer la solution proposée .

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#1 09-04-2010 08:30:41

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