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mtschoon · 27-06-2009 13:33:09

Quelques pistes pour l'exercice 3 .

I)Il s'agit de la Formule de Pascal , démontrée en cours .

(Si besoin , voir une démonstration à la fin)

II) 1) a)

Au total , il y a 10 jetons et l'expérience consiste à en tirer 2 simultanément

Le nombre de cas possibles est donc $3$N= {{10}\choose{2}} =45$

Il y a 7 jetons blancs.

Le nombre de cas favorables à A est donc : $3$N_1={{7}\choose{2}}=21$

$3$\fbox{p(A)=\frac{N_1}{N}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}}$

II) 1) b)

Il y a 6 jetons portant des numéros impairs .

Le nombre de cas favorables à B est donc : $3$N_2={{6}\choose{2}}=15$

$3$\fbox{p(B)=\frac{N_2}{N}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}}$

II) 1) c)

$\text{Calcul de p(A\bigcap B)$

A inter B est l'évènement " les deux jetons tirés sont blancs et portent des numéros impairs"

Il y a 4 jetons blancs et portant des numéros impairs"

Le nombre de cas favorables à A inter B est donc : $3$N_3={{4}\choose{2}}=6$

$3$p(A \bigcap B)=\frac{N_3}{N}=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$

$3$p(A)\times p(B)=\frac{7}{15}}\times \frac{1}{3}}=\frac{7}{45}$

$3$p(A \bigcap B)$ dif $3$ p(A)\times p(B)$

Les évènements A et B ne sont donc pas indépendants

II) 2) a) X prend les valeurs 0 , 1 , 2.

X=0 : on tire simultanéments 2 jetons noirs

$3$P(X=0)=\frac{ {{3}\choose{2}} }{{{10}\choose{2}}}=\frac{3}{45}=\frac{1}{15}$

X=1 : on tire simultanéments 1 jeton noir et 1 jeton blanc

$3$P(X=1)=\frac{{{3}\choose{1}} \times {{7}\choose{1}} }{{{10}\choose{2}} }=\frac{3\times 7}{45}=\frac{7}{15}$

X=2 : on tire simultanéments 2 jetons blancs

$3$P(X=2)=\frac{ {{7}\choose{2}} }{{{10}\choose{2}}}=\frac{21}{45}=\frac{7}{15}$

II) 2) b) Espérance Mathématique de X

$3$E(X)=$0\times \frac{1}{15}$+$1\times \frac{7}{15}$+$2\times \frac{7}{15}$$

$3$\fbox{E(X)=\frac{21}{15}=\frac{7}{5}}$

mtschoon · 02-07-2009 17:41:19

ROC

Complément : Question I ) : Démonstration de la formule de PASCAL

Prérequis : n et p étant deux entiers naturels tels que p inf

n :

$3$\fbox{{{n}\choose {p}}=\frac{n!}{p!(n-p)!} }$

Démonstration

Donc : $3${{n-1}\choose {p-1}} =\frac{(n-1)!}{(p-1)!(n-1-p+1)!} =\frac{(n-1)!}{(p-1)!(n-p)!}$

De même : $3${{n-1}\choose {p}} =\frac{(n-1!}{p!(n-1-p)!}= \frac{(n-1)!}{p!(n-p-1)!}$

D'où : $3${{n-1}\choose {p-1}}+ {{n-1}\choose {p}} =\frac{(n-1)!}{(p-1)!(n-p)!}+ \frac{(n-1)!}{p!(n-p-1)!}$

Le dénominateur commun le plus réduit est p!(n-p)!

$3${{n-1}\choose {p-1}}+ {{n-1}\choose {p}} =\frac{(n-1)!p}{p!(n-p)!}+ \frac{(n-1)!(n-p)}{p!(n-p)!}$

En ajoutant les numérateurs :

$3${{n-1}\choose {p-1}}+ {{n-1}\choose {p}} =\frac{(n-1)!p+(n-1)!(n-p)}{p!(n-p)!}$

$3${{n-1}\choose {p-1}}+ {{n-1}\choose {p}} =\frac{(n-1)!(p+n-p)}{p!(n-p)!}$

$3${{n-1}\choose {p-1}}+ {{n-1}\choose {p}} =\frac{(n-1)!n}{p!(n-p)!}$

$3${{n-1}\choose {p-1}}+ {{n-1}\choose {p}} =\frac{n!}{p!(n-p)!}$

Conclusion

$3$\fbox{{{n-1}\choose {p-1}}+ {{n-1}\choose {p}} ={{n}\choose {p}}}$

amelie · 02-07-2009 20:22:56

Bonjour,

Est ce que c'était possible d'utiliser un arbre pondéré pour trouver les probabibilités demandées à la question 2) ?

Merci

el_niala · 02-07-2009 21:18:53

bonsoir amelie

mtschoon détaillera sans doute, ce n'est pas un seul arbre qu'il fallait faire mais 2, et considérer que les tirages simultanés correspondaient, pour cet exercice, à 2 tirages successifs sans remise

d'où un premier arbre avec 2 branches (B pondérée par 7/10 et N par 3/10), puis partant de B 2 branches (B pondérée par 6/9 et N par 3/9) ; le chemin valide étant BB et le résultat attendu

même principe avec les pairs et impairs

à noter par ailleurs que la ROC était traitée sur le forum : ROC1

amelie · 02-07-2009 21:31:17

Merci de m'avoir répondu car c'est avec 2 arbres que j'ai réussi à trouver mes solutions.

mtschoon · 02-07-2009 23:55:40

Bonsoir Amélie et el_niala ,

Merci el_niala pour tes explications.

Evidemment , pour respecter l'ESPRIT de l'exercice , cela ne fait aucun doute , ce sont les combinaisons qu'il fallait prendre vu que l'énoncé indique "On tire SIMULTANEMENT deux jetons du sac".

Cet exercice 3 était d'ailleurs basé exclusivement sur les combinaisons , vu la ROC demandée en première question !

J'espère Amélie que si ta rédaction avec deux arbres a été claire , le correcteur ne te pénalisera pas pour ta méthode ; tout dépend des consignes qui lui seront données...

Remarque :

En complément , j'ai tapé une démonstration du I) pour que les consultants puissent trouver la globalité de la solution sur le même topic ( en vue d'un rattrapage par exemple ) , mais tout élève à dû faire la démonstration en cours .
On trouve cette démonstration dans tout manuel de Maths de TS et même sur le site , comme l'a signalé el_niala. C'est un "classique" ! .

grigoulet · 04-07-2009 14:29:58

Bonjour (tout particulièrement à mtschoon et el_niala)

Pour la ROC, je crois savoir que dans au moins deux académies on a accepté la démonstration (également classique) suivante :

$(_p^n)$ est le nombre de parties à p éléments d'un ensemble E de n éléments.

Soit a un élément de E.

Les $(_p^n)$ parties en question peuvent se classer en deux catégories : celles qui contiennent a et cellles qui ne le contiennent pas.

- le nombre de parties qui ne le contiennent pas est $(_{p}^{n-1})$ : on prend p éléments parmi les (n-1) autres que a

- le nombre de parties qui le contiennent est $(_{p-1}^{n-1})$ : il reste à prendre (p-1) éléments parmi les (n-1) autres que a

On a ainsi une partition de E et on en déduit le résultat attendu.

Le préambule incite à choisir la méthode donnée par mtschoon, bien sûr.

En espérant n'avoir pas fait de faute de frappe (même avec la prévisualisation on lit ce qu'on a voulu écrire, pas ce qu'on a écrit)

Amicalement vôtre.

mtschoon · 04-07-2009 16:15:52

Bonjour Grigoulet,

Ravie de te lire ! smile

La démonstration que tu présentes me semble très bonne , mais évidemment elle n'utilise pas le prérequis donné , comme tu l'as indiqué ...

el_niala · 08-07-2009 18:54:24

bonsoir grigoulet smile

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