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1)

5² = 25 = 2 11 + 3
5¹ = 5 = 0 11 + 5
5³ = 125 = 11 11 + 4
5⁶ = 15625 = 1420 11 + 5
d’où le tableau



f(A) = f(F) = E , f n’est pas bijective d’où une incertitude, E code-t-il A ou F

1)

2² = 4 = 0 11 + 4
2¹ = 2 = 0 11 + 2
2³ = 8 = 0 11 + 8
2⁶ = 64 = 5 11 + 9
d’où le tableau



il suffit de vérifier que g opère une bijection de sur lui-même

..n... | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |10|
g(n) | 2 | 4 | 8 | 5 |10| 9 | 7 | 3 | 6 | 1 |

3a)

contraposée
h(k) = h(j)  j < k
alors a^k - a^j 0 [11] (1)

(1) a^j (a^k-j – 1) 0 [11]
or a et 11 sont premiers entre eux, d’où a^k-j 1 [11]
contradiction puisque k-j

3b)
en reprenant la démarche de 3a)
soit i = k-j avec i, j, k
alors a^j (a^k-j – 1) = a^j (aⁱ – 1) 0 [11]

3c)

10 = qi + r avec r < i
or a¹⁰ 1 [11] (2) (Petit Fermat) puisque a et 11 sont premiers entre eux

et (2) a^qi a^r 1 [11] =>  a^r 1 [11] => r = 0 (puisque i est le plus petit élément de |aⁿ 1 [11] )

3d)

si on résume les résultats précédents, comme 2 et 5 sont les seuls diviseurs de 10, il ne faut pas que a² ni a⁵ soient congrus à 1 modulo 11
un rapide calcul conduit aux valeurs possibles 2, 6, 7 et 8