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1
Soit (U_n ) une suite croissante non-majorée.

Pour tout réel A, la suite n'étant pas majorée, il existe au moins un indice no tel que U_no  A.

Comme la suite (U_n ) est croissante, on peut alors dire que pour tout n no, on : U_n  U_no .

Donc, pour tout n no , on a: U_n  A.

Conclusion
Pour tout réel A, il existe un indice (un rang!) no tel que n no U_n  A.
La suite tend donc vers +

2
a) Pour tout n IN , on a : U_n+1   - U_n  = e^-U_n > 0.
La suite est donc strictement croissante.

b) Si la suite converge vers L , comme la fonction (e^x) est continue sur , on a alors:

De plus , 

Donc, d'après la défintion de la suite, on doit avoir la relation : L = L + e^-L.

c) La dernière égalité conduit à écrire que L doit vérifié : 0 = e^-L
Or, on sait que pour tout réel L , e^-L > .
D'où contradiction avec l'existence de L.

Conclusion
La suite est croissante et ne converge pas dans .
Elle tend vers +