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Forum Maths-Express: Lycéens, Etudiants, LaTex, Baccalauréat, Olympiades / Question 5: Spécialité ( Similitude Directe )

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#1 21-12-2008 18:30:14

Admin
Administrateur
Date d'inscription: 02-12-2006
Messages: 1039

Question 5: Spécialité ( Similitude Directe )

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#2 23-01-2009 18:50:00

Admin
Administrateur
Date d'inscription: 02-12-2006
Messages: 1039

Re: Question 5: Spécialité ( Similitude Directe )



2.a) Une démonstration théorique, en utililisant l'écriture complexe d'une similitude s, dans le plan complexe.

z'=az+b avec a in c* et b in c

A0 difB0
s(A0 )=A1  et s(B0 )=B1

Soit z0 ,z1 ,z'0 ,z'1  les affixes respectives de A0 , A1 ,B0 ,B1 .

On cherche a et b vérifiant le système :

\left{z_1=az_0+b\\z'_1=az'_0+b

z'1 -z1 =a(z'0 -z0 ) ssi \Large a=\frac{z'_1-z_1}{z'_0-z_0}

b=z1 -az0  ssi \Large b=z_1-\frac{z'_1-z_1}{z'_0-z_0}\ .\ z_0

a et b existent et sont uniques , donc s existe et est unique.


2.b) Application du 1.a)

Le triangle OA0 B0  est rectangle isocèle en O et A0 B0 =4rac32 donc , O0 A0 =O0 B0 =4

Repère (O,i>,j>) avec :  3$\vec{i}=\frac{1}{4}\vec{OA_0}\ et \ \vec{j}=\frac{1}{4}\vec{OB_0}

z0=4 ; z1=2+2i ;  z'0=4i ; z'1=-2+2i

Avec les formules démontrées au 2.a), on obtient, après simplifications
a = \frac{1}{1-i}\ et\ b=0

Donc z^'=\frac{1}{1-i}z

Cherchons le module r et un argument theta de a

a = \frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{(1-i)(1+i)}=\frac{1+i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i

r=\sqrt{\(\frac{1}{2}\)^2+\(\frac{1}{2}\)^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

\cos(\theta)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

\sin(\theta)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Donc, \theta=\frac{\pi}{4}\ [2\pi]

Conclusions :

\Large z^'=\frac{\sqrt{2}}{2}\ e^{i\frac{\pi}{4}}\ z

s est donc une similitude directe de rapport \frac{\sqrt{2}}{2} et d'angle pi/4

Vérifions que le centre est O :

Pour z= 0, z'=0 donc O invariant par s donc O centre de s

Finalement, s est la similitude directe de centre O, de rapport \frac{\sqrt{2}}{2} et d'angle pi/4


Une récurrence pour prouver que pour tout n de n, s(An )=An+1  et S(Bn )=Bn+1

Initialisation : s(A0 )=A1  et s(B0 )=B1   (voir début du 2.b))

Transmission :

Hypothèse : Pour un naturel n , on suppose que s(An )=An+1  et S(Bn )=Bn+1
Conclusion à démonter : s(An+1 )=An+2  et S(Bn+1 )=Bn+2 

DEMONSTRATION

Soit zn+1  , zn+2  , z'n+1 , z'n+2  les affixes respectives de An+1  , An+2  , Bn+1  , Bn+2 .

An+2   milieu de [An+1 Bn+1 ]

Donc; z_{n+2}=\frac{1}{2}\(z_{n+1}+z^'_{n+1}\)

\Large z_{n+2}=\frac{1}{2}\(\frac{\sqrt{2}}{2}\ e^{i\frac{\pi}{4}}z_n\ +\ \frac{\sqrt{2}}{2}\ e^{i\frac{\pi}{4}}z^'_n\)

\Large z_{n+2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\ e^{i\frac{\pi}{4}}\(\frac{z_n+z^'_{n}}{2}\)

Finalement, \Large z_{n+2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\ e^{i\frac{\pi}{4}}z_{n+1}

Donc s(An+1 )=An+2  CQFD


3.a) Par composition des similitudes,

arg(z_n)=n\frac{\pi}{4}\ et\ arg(z_p)=p\frac{\pi}{4} [2pi]

O,An ,Ap  alignés ssi arg(zn )=arg(zp ) [pi]

O,An ,Ap  alignés ssi n\frac{\pi}{4}=p\frac{\pi}{4} [pi] ssi \frac{n}{4}=\frac{p}{4} [1] ssi n mod p [4]

3.b) Utilisation du 3.a) : O,A0 ,A4  alignés

Remarque 1 : pour concrétiser la question 3., on peut compléter le graphique de la 1.  en plaçant les points A0 ,A4 ,B0 ,B4  et gomega.

Remarque 2 : On connait : z0=4, z'0=4i, z_4=4(\frac{\sqrt{2}}{2}\)^4e^{i\pi}=-1, z^'_4=4(\frac{\sqrt{2}}{2}\)^4e^{i\frac{3\pi}{2}}=-i.
On pourrait calculer les coordonnées de gomega (-4/3,-4/3) et terminer l'exercice avec.
Comme l'énoncé ne le demande pas, on termine l'exercice exclusivement avec A0 ,A4  ,B0 ,B4 

Soit h l'homothétie de centre O et de rapport -4
h(A4 )=A0  et h(B4 )=B0  donc A0 B0 >=-4 A4 B4 > donc (A0 B0 ) // (A4 B4 )

De plus, les triangles OA0 B0  et OA4 B4  sont des triangles rectangles  symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle (OA0 >,OB0  >), donc le quadrilatère A0 B0 A4 B4  est un trapèze isocèle.

Les droites (B0A4) et (A0B4) se coupent donc en un point gomega tel que le triangle :Omega:A0B0 soit isocèle.


3.c) Thèorème de Pythagore dans le triangle rectangle  O A0 B4 ( ou formule de la distance, ou module )

A0 B4 ² = 1²+4² = 17 , donc A_0B_4=\sqrt{17}

3.d) Aves le théorème de Pythagore (par exemple) , A4 B4 ²=(-1)²+1²=2 donc A4 B4 =rac32 et A0 B0 ²=(4)²+4²=32 donc A0 B0 =4rac32

Les triangles gomegaA4 B4   et gomegaA4 B4   sont semblables donc leurs côtés sont proportionnels.

\frac{\Omega A_0}{\Omega B_4}=\frac{B_0 A_0}{B_4 A_4}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=4

Conclusion gomegaA0 =4gomegaB4

3.e) Calcul de l'aire (A0 gomegaB0 )

Utilisation du 3.d) et 3.c) :  gomegaA0  = \frac{4}{3}A_0B_4=\frac{4}{3}\sqrt{17}

Calculons la distance d de B0  à (B4  A0 )

Equation de (B4  A0 ) : y=1/4x-1 ssi x-4y-4=0

d=\frac{|-20|}{\sqrt{16+1}}=\frac{20}{\sqrt{17}}

Aire (A0 gomegaB0 ) = \frac{\Omega A_0\ \times\ h}{2}

Aire (A0 gomegaB0 ) = \frac{40}{3}

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