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Admin · 21-12-2008 18:29:37

mtschoon · 19-01-2009 23:46:17

SOLUTION PROPOSEE

A) Démontrons que pour tout x réel : ${ \exp(x)\times \exp(-x)=1$

DEMONSTRATION

Pour tout x réel , soit $3$f(x)= \exp(x)\times \exp(-x)$

Pour tout x réel , déterminons f '(x) , en utilisant la dérivée d'un produit :

$3$U(x)=\exp(x)\ donc\ U^'(x)=\exp(x)$ (prérequis 1-2)
$3$V(x)=\exp(-x)\ donc\ V^'(x)=-\exp(-x)$ (prérequis 1-2 et dérivée d'une fonction composée )

$3$f^'(x)=U^'(x)V(x)+U(x)V^'(x)=\exp(x)\exp(-x)-\exp(x)\exp(-x)$

$3$f^'(x)=0$ donc $3$f(x)=K$ , K constante réelle.

Déterminons K : $3$f(0)=\exp(0)=1$ (prérequis 3) donc K=1

CONCLUSION : $3$\fbox{\exp(x)\times \exp(-x)=1}$

B) Démontrons que pour tout réel a et pour tout réel b : $\exp(a+b)=\exp(a)\times \exp(b)$

DEMONSTRATION

Conséquence du A) : Pour tout x réel , exp(x) dif 0

Soit a un réel fixé.

Pour tout x réel , soit $3$g(x)=\frac{\exp(a+x)}{\exp(x)}$

Pour tout x réel , déterminons g '(x) , en utilisant la dérivée d'un quotient :

$3$U(x)=\exp(a+x)\ donc\ U^'(x)=\exp(a+x)$ (prérequis 1-2 et dérivée d'une fonction composée)
$3$V(x)=\exp(x)\ donc\ V^'(x)=-\exp(x)$

$3$g^'(x)=\frac{U^'(x)V(x)-U(x)V^'(x)}{(V(x))^2}$

Après calculs , $3$g^'(x)=0$ donc $g(x)=C$ , C constante réelle.

Déterminons C : $3$g(0)=\frac{\exp(a)}{\exp(0)}=\exp(a)$ (prérequis 3)

Donc : donc C = exp(a)

Finalement :

$3$\frac{\exp(a+x)}{\exp(x)}=\exp(a)$

$3$\exp(a+x)=\exp(a)\times \exp(x)$

CONCLUSION : Pour x=b , $3$\fbox{\exp(a+b)=\exp(a)\times \exp(b)}$

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#1 21-12-2008 18:29:37

Question 6 : Fonction exponentielle

#2 19-01-2009 23:46:17

Re: Question 6 : Fonction exponentielle

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