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Admin · 21-12-2008 18:26:10

mtschoon · 23-01-2009 10:01:31

SOLUTION PROPOSEE

Partie I : REPONSES

A) VRAI ; B) FAUX ; C) FAUX ; D) VRAI

Partie II : JUSTIFICATIONS

1) Justification de (A) VRAI : Démonstration

Pour tout entier n , Vn sup Un

Vu que Vn > 0 et Un >0 , l'élévation au carré est régulière : $3$V_n^2 \ge U_n^2$

Vu que Vn dif 0 , la division par Vn est régulière : $3$\frac{V_n^2}{U_n} \ge \frac{U_n^2}{U_n}$

D'où : $3$\frac{V_n^2}{U_n} \ge U_n$

$\lim_{n\to +\infty}U_n=+\infty$ : Pour tout B réel aussi grand soit-il , il existe un naturel A tel que : pour tout n sup A , Un sup B

D'où :

Pour n sup A : $3$\frac{V_n^2}{U_n} \ge U_n \ge B$

Par transitivité de la relation sup : $3$\frac{V_n^2}{U_n} \ge B$

CONCLUSION : $3$\fbox{\lim_{n\to +\infty}\frac{V_n^2}{U_n} =+\infty }$

2) Justification de (B) FAUX : Contre exemple

Soit $\fbox{U_n = sin( n)}$ , pour n

Cette est bornée par -1 et 1 mais n’admet pas de limite en + infty : elle n'est pas convergente.

3) Justification de (C) FAUX : Contre exemple

Soit $\fbox{U_n = n^2\ et\ V_n=n}$ , pour n ^*

Ces deux suites sont à valeurs strictement posotives et tendent vers + infty

$3$\frac{U_n}{V_n}=\frac{n^2}{n}=n$

Donc , $3$\lim_{n\to +\infty}\frac{U_n}{V_n}=\lim_{n\to +\infty}\ n=+\infty$

La suite de terme général $\frac{U_n}{V_n}$ ne converge pas vers 1

4) Justification de (D) VRAI : Démonstration

(Un) suite non majorée : Pour tout M de aussi grand soit-il , il existe n0 de tel que $U_{n_o} > M$

Comme (Un) est croissante , pour tout n > n0, $U_n \ge U_{n_0}$

Donc , Pour tout n > n0 : $U_n \ge U_{n_0}>M$

Conclusion : Pour tout n > n0 , $U_n >M$

$3$\fbox{\lim_{n\to +\infty}U_n=+\infty}$

Toute suite croissante non majorée tend vers +

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Annonce

#1 21-12-2008 18:26:10

Question 8 : Suites numériques

#2 23-01-2009 10:01:31

Re: Question 8 : Suites numériques

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