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Admin · 21-12-2008 18:25:35

mtschoon · 22-01-2009 17:22:57

SOLUTION PROPOSEE

1.Continuité de f sur [0,+[

Principe : la composée de 2 fonctions continues et une fonction continue.

Soit g(t)=t²+1 et h(t)=lnt , on a donc f(t) = h o g (t)

g ( fonction polynome ) est continue, sur et à valeurs dans [1,+:infty[
h est continue, sur ]0,+ infty [, donc en particulier sur [1,+ infty [.

hog, c'est à dire f, est donc continue sur , donc en particulier sur [0,+ infty [

2.f croissante sur [0,+[

Principe : la composée de 2 fonctions croissantes est une fonction croissante.

g est croissante sur [0,+ infty [ et à valeurs dans [1,+ infty [.
h est croissante sur [1,+ infty [

hog, c'est à dire f, est donc croissante sur [0,+ infty [

Remarque : Autre méthode : calculer f'(t) : $3$f^'(t)=\frac{2t}{t^2+1}$

Sur [0,+ infty [ : 2t sup 0 , (t²+1) > 0 donc f ' (t) sup 0 donc f croissante.

3.a Utilisation du graphique donné avec l'énoncé .

h > 0

Notations :

A(x0 , 0)
B(x0 + h , 0)
C(x0 + h , ln(1+x0²))
D(x0 , ln(1+x0²))
E(x0 + h , ln(1+(x0+h)²))
F(x0 , ln(1+(x0+h)²))

aire(ABCD) = aire du rectangle ABCD
aire(ABED) = aire du quadrilatère curviligne ABED, Le côté 'ED' étant sur la représentation graphique de f
aire(ABEF) = aire du rectangle ABEF

f étant continue et croissante :

aire(ABCD) inf aire(ABED) inf aire(ABEF)

$h \times ln(1+x_0^2) \le A(x_0+h)-A(x_0) \le h \times ln(1+(x_0+h)^2)$

h étant strictement positif, on divise sans changer le sens de l'inégalité :

$ln(1+x_0^2)\le \frac{A(x_0+h)-A(x_0)}{h}\le ln$1+(x_0+h)^2$$

CQFD

3.b)Utilisation du graphique donné avec l'énoncé .

h < 0 et 0 inf x0+h < x0

Notations :

A(x0 , 0)
B(x0 + h , 0)
C'(x0 + h , ln(1+(x0+h)²))
D(x0 , ln(1+(x0+h)²))
E'(x0+h , ln(1+x0²))
F(x0 , ln(1+x0²))

aire(ABC'D) = aire du rectangle ABC'D
aire(ABC'F) = aire du quadrilatère curviligne ABC'F, Le côté ' C'F ' étant sur la représentation graphique de f
aire(ABE'F) = aire du rectangle ABE'F

f étant continue et croissante :

aire(ABC'D) inf aire(ABC'F) inf aire(ABE'F)

$(-h) \times ln(1+(x_0+h)^2)) \le A(x_0)-A(x_0+h) \le (-h) \times ln(1+x_0^2)$

(-h)étant strictement positif, on divise sans changer le sens de l'inégalité :

$3$ln$1+(x_0^2+h)$\le \frac{A(x_0)-A(x_0+h)}{-h}\le ln$1+x_0^2$$

Donc :

$3$ln$1+(x_0^2+h)$\le \frac{A(x_0+y)-A(x_0)}{h}\le ln$1+x_0^2$$

3.c)Utilisation du théorème des 2 gendarmes

Utilisation du 3.a), pour h > 0

Par encadrement, on déduit que : $3$\lim_{h\to 0^+}\frac{A(x_0+h)-A(x_0)}{h}=f(x_0)$

La fonction A est donc dérivable à droite en x0 et le nombre dérivé à droite est f(x0)

Utilisation du 3.b), pour -x0 inf h < 0

Par encadrement, on déduit que : $3$\lim_{h\to 0^-}\frac{A(x_0+h)-A(x_0)}{h}=f(x_0)$

La fonction A est donc dérivable à gauche en x0 et le nombre dérivé à gauche est f(x0)

Synthèse :

Le nombre dérivé à droite en x0 est égal au nombre dérivé à gauche en x0 , donc A est dérivable en x0 .

Le nombre dérivé de A en x0 est f(x0) : $3$\fbox{A^'(x_0)=f(x_0)}$

Conséquence :

Pour tout x de ]0,+ infty [ , $3$\fbox{A^'(x)=f(x)}$

Donc, $3$\fbox{A^'=f}$

CONCLUSION : A est une PRIMITIVE de f sur ]0,+[

4) Encadrement de l'aire A(2) par les aires de 2 rectangles

aire(OIJK) A(2) aire(OI'J'K')

avec O(0,0) , I(1,0) , J(1,f(1)) , K(0,f(1)) , I'(0,2) , J'(2,f(2)) , K'(0,f(2))

f(1)=ln2 ; f(2)=ln5

d'où : $1\times ln(2) \le A(2)\le 2\times ln(5)$

$\fbox{ln(2) \le A(2)\le 2 ln(5)}$

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#1 21-12-2008 18:25:35

Question 9 : Primitive et Calcul d'aire

#2 22-01-2009 17:22:57

Re: Question 9 : Primitive et Calcul d'aire

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