+++ Forum Maths-Express: Lycéens, Etudiants, LaTex, Baccalauréat, Olympiades +++

Admin · 21-12-2008 18:24:01

mtschoon · 23-01-2009 20:08:01

SOLUTION PROPOSEE

1.

$f(x) = e^x => f ^'(x) = e^x => f^{ ''}(x) = e^x = f(x)$

$f(x) = e^{-x} => f ^'(x) = -e^{-x} => f ^{''}(x) =-(- e^{-x}) = e^x=f(x)$

2a.

$u \in E1 <=> u'= u <=> f ^'+ f ^{''} = f + f^ ' <=> f ^{''} = f <=> f \in E2$

2b.

$u \in E1$

soit $g(x) = u(x)e^{-x}$ , alors $g^'(x) = u^'(x)e^{-x} - u(x)e^{-x }= 0 <=> g(x) = C$ ( C constante réelle )

Donc : tout élément de E1 est de la forme $u(x) = Ce^ x$

et donc $u(0) = 1 <=> Ce^0 = 1<=>C=1$

3a.

$g^'(x) = [f ^'(x) + f(x)]e^x$

or d’après 2a. $f ^'+ f \in E1$ donc d’après 2b. $f ^'(x) + f(x) = C e^x$

et $f ^'(0) + f(0) = 0 + 1 = Ce^0 = C$

d’où $3$g^'(x) =e^ xe^ x=e^ {2x}$

3b.

d’après 3a., $g(x) = \frac12e^{2x} + K$

d’où $f(x) = g(x)e^{-x }= \frac12e^x + Ke^{-x}$

$f(0) = \frac12e^0 + Ke^{-0} = 1 <=> K = \frac12$

on vérifie $f ^'(0) = 0$

$3$\fbox{f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

Remarque : la fonction f s’appelle "ch" ( ou "cosh" ) pour "cosinus hyperbolique’"
Sa représentation s'appelle « chaînette » , vu sa forme.

+++ Forum Maths-Express: Lycéens, Etudiants, LaTex, Baccalauréat, Olympiades +++

Annonce

#1 21-12-2008 18:24:01

Question 12 : Equations différentielles

#2 23-01-2009 20:08:01

Re: Question 12 : Equations différentielles

Pied de page des forums