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Admin · 21-12-2008 18:23:16

mtschoon · 24-01-2009 11:26:29

SOLUTION PROPOSEE

1.a)

Hypothèses :
u²+v² dif 0
(D) : ux+vy+w=0
M₀ (x0,y0)
Soit H le projeté de M sur (D) ; H(x1,y1) avec ux1+vy1+w=0

La distance d de M₀ à (D) est M₀ H

Soit ( gdelta ) la droite (M₀ H)

Démonstration :
$\vec{N}(u,v)$ est un vecteur normal de (D) donc un vecteur directeur de ( gdelta )

$\vec{M_0H}\ (x_1-x_0,y_1-y_0)$

Exprimons le produit scalaire $\vec{N}.\vec{M_0H}$ de deux façons différentes.

Avec les coordonnées :
$\vec{N}.\vec{M_0H}= u(x_1-x_0) + v(y_1-y_0)=ux_1-ux_0+vx_1-vx_0=-ux_0-vy_0-w=-(ux_0+vy_0+w)$

Avec les normes :
$\vec{N}.\vec{M_0H}= ||\vec{N}|| \times \vec{M_0H}||\times cos(k \pi)$

$3$\fbox{\vec{N}.\vec{M_0H}=\sqrt{u^2+v^2}\times d\times (\pm 1)}$

Ecrivons l'égalité des normes de ces 2 produits scalaires :

$3$\fbox{|ux_0+vy_0+w|=\sqrt{u^2+v^2}\times d \times 1}$

Conclusion :

$3$\fbox{d=\frac{|ux_0+vy_0+w|}{\sqrt{u^2+v^2}}$

1.b)

Hypothèses : A(a,0) et B(0,b)

Recherche d'une équation de la droite (AB)

Un vecteur directeur : $\vec{AB}$ (0-a,b-0), c'est à dire (-a,b)
L'équation de (AB) est de la forme : -bx-ay+c=0
La droite (AB) passe par A :-ba + c= 0 ssi c=ab
Une équation de (AB) est : -bx-ay+c=0 ssi bx+ay-ab=0

Conclusion sur la distance d de O à (AB)

$d=\frac{|b.0+a.0-ab|}{\sqrt{a^2+b^2}$

$\fbox{d=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$

2.a)

Hypothèses : A(a,0,0) , B(0,b,0) et C(0,0,c)

Démonstration :
Soit H le projeté de C sur (AB)
Le triangle CHO est rectangle en O donc CH²=CO²+ OH²

CO²=c²

En utilisant le 1.b)

$OH=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}\ donc\ OH^2=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2}$

donc : $CH^2=\frac{a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2}{a^2+b^2}$

Conclusion :

La distance CH de C à (AB) est :

$3$\fbox{CH=\sqrt{\frac{a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2}{a^2+b^2}}}$

2.b) Conséquence du 2.a

$aire(ABC)=\frac{CH\times AB}{2}\ donc\ [aire(ABC)]^2=\frac{CH^2\times AB^2}{4}$

Après calcul et simplification : $[aire(ABC)]^2=\frac{a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2}{a^2+b^2}$

$aire(OBC)=\frac{OA\times OB}{2}\ donc\ [aire(OAB)]^2=\frac{OA^2\times OB^2}{4}$

Après calcul : $[aire(OAB)]^2=\frac{a^2b^2}{4}$

Avec le même principe :

$[aire(OBC)]^2=\frac{b^2c^2}{4}$

$[aire(OCA)]^2=\frac{a^2c^2}{4}$

Donc : $[aire(OAB)]^2+[aire(OBC)]^2+[aire(OCA)]^2=\frac{a^2c^2+b^2c^2+a^2b^2}{4}$

Conclusion :

$3$\fbox{[aire(ABC)]^2=[aire(OAB)]^2+[aire(OBC)]^2+[aire(OCA)]^2}$

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#1 21-12-2008 18:23:16

Question 13 : Distance d'un point à une droite

#2 24-01-2009 11:26:29

Re: Question 13 : Distance d'un point à une droite

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