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CultureMATH
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| Autour du théorème de récurrence de Poincaré ( 590 visites depuis le 01-06-2006 ) | |
| Henri Poincaré est le fondateur de la théorie des systèmes dynamiques. Confronté à l'impossibilité de résoudre explicitement les équations différentielles gouvernant les trajectoires des planètes (dès qu'elles sont en nombre supérieur à trois), il développe un ambitieux programme qui cherche à décrire qualitativement le mouvement des corps célestes. Dans son fameux mémoire de 1890Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique , il démontre un théorème extrêmement surprenant. Nous en donnerons un énoncé précis plus loin mais il est préférable de citer directement l'analyse que H. Poincaré a faite de ses propres travaux: Je n'ai pu résoudre rigoureusement et complètement le problème de la stabilité du système solaire, en entendant ce mot dans un sens strictement mathématique. L'emploi des invariants intégraux m'a cependant permis d'atteindre certains résultats partiels, s'appliquant surtout au problème dit restreint où les deux corps principaux circulent dans des orbites sans excentricité, pendant que le corps troublé a une masse négligeable. Dans ce cas, si on laisse de côté certaines trajectoires exceptionnelles, dont la réalisation est infiniment peu probable, on peut démontrer que le système repassera une infinité de fois aussi près que l'on voudra de sa position initiale. C'est ce que j'ai appelé la stabilité à la Poisson. | |
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| Histoire de mathématiques ( 847 visites depuis le 24-04-2006 ) | |
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Auteur: UFR de mathématique et d’informatique — Université Louis Pasteur , Strasbourg. Un document de 177 pages qui aborde l'histoire des mathématiques de l'époque mésopotamienne au XIXème siècle. | |
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| Hyperchevre ! ( 739 visites depuis le 16-02-2006 ) | |
| Problème généralisé de la chèvre attachée à un poteau ! | |
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| Introduction à la géométrie riemannienne ( 721 visites depuis le 01-06-2006 ) | |
| Cet article est une très très brève introduction à la géométrie riemannienne, il définit la notion de métrique riemannienne sur les surfaces réelles (variétés réelles de dimension 2). | |
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| La surface de Klein ( 574 visites depuis le 01-06-2006 ) | |
| En 1878, Felix Klein découvre une surface remarquable. Il en donne tout de suite plusieurs descriptions: algébrique (courbe algébrique), arithmétique (courbe modulaire), géométrique (surface hyperbolique) et combinatoire (polyèdre régulier). Les aspects algébrique et arithmétique sont liés à la théorie des équations algébriques: l'une des principales motivations de Klein est de prolonger ses travaux sur l'icosaèdre. Concernant l'aspect géométrique, Klein établit que sa surface est un quotient du demi-plan supérieur, et obtient ainsi le premier exemple d'uniformisation (paramétrage global par un seul paramètre complexe) d'une courbe algébrique de genre supérieur à 1. Auparavant, seule l'uniformisation des courbes de degré inférieur à 3 était connue. La surface de Klein marque donc une étape importante dans la théorie de l'uniformisation, qui sera achevée bien plus tard (en 1907) par Koebe et Poincaré. Dans cet article, nous décrivons la surface de Klein et les relations entre ses diverses formes: plus qu'un exemple, ce sera un prétexte pour illustrer quelques résultats de base sur les surfaces de Riemann. | |
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| Théorème de Gödel -1 ( 701 visites depuis le 25-02-2006 ) | |
| Auteur: Yann Ollivier | |
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